جواب کاردرکلاس صفحه 37 ریاضی و آمار دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۳۷ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به شما نشان می‌دهد که چرا هنگام استفاده از **آماره‌ها و درصدها**، به‌ویژه در متغیرهای $\mathbf{کَیفی}$، باید به **مقدار اولیه و تعداد واقعی** توجه کنیم تا دچار خطای درک نشویم. --- ### الف) نوع متغیر «قبولی در ۱۵ دانشگاه برتر» * **جواب:** متغیر **کیفی** (اسمی / ترتیبی). * **چرا؟** متغیر «قبولی / عدم قبولی» بیانگر یک **صفت یا ویژگی** است که نتیجه را در دو گروه مجزا (پذیرفته شده، پذیرفته نشده) دسته‌بندی می‌کند و **غیرقابل اندازه‌گیری عددی** به معنای جمع و تفریق است. هرچند که تعداد قبول‌شدگان (فراوانی) $\mathbf{کَمی}$ است، اما خود متغیر قبولی، $\mathbf{کَیفی}$ است. --- ### ب) پیشنهاد بر اساس اطلاعات اولیه * **اطلاعات:** مدرسهٔ اول $athbf{200}$% افزایش قبولی و مدرسهٔ دوم $athbf{20}$% افزایش قبولی داشته است. * **پیشنهاد:** بر اساس این اطلاعات، مدرسهٔ **اول** باید پیشنهاد شود. * **چرا؟** زیرا افزایش $athbf{200}$% (سه برابر شدن) بسیار چشمگیرتر از افزایش $athbf{20}$% است و نشان‌دهندهٔ عملکرد آموزشی به مراتب بهتر است. (اما این پیشنهاد همانطور که در بخش‌های بعدی مشخص می‌شود، گمراه‌کننده است.) --- ### پ) معنای $athbf{200}$% و $athbf{20}$% * **$athbf{200}$ درصد افزایش:** به این معناست که مقدار نهایی، $\mathbf{200 \text{ درصد بیشتر}}$ از مقدار اولیه است. به عبارت دیگر، مقدار نهایی $\mathbf{3}$ برابر مقدار اولیه است: $$\\text{مقدار نهایی} = \text{مقدار اولیه} + (200 \% \times \text{مقدار اولیه}) = \text{مقدار اولیه} + 2 \times \text{مقدار اولیه} = 3 \times \text{مقدار اولیه}$$ * **$athbf{20}$ درصد افزایش:** به این معناست که مقدار نهایی، $\mathbf{20 \text{ درصد بیشتر}}$ از مقدار اولیه است. به عبارت دیگر، مقدار نهایی $\mathbf{1.2}$ برابر مقدار اولیه است: $$\\text{مقدار نهایی} = \text{مقدار اولیه} + (20 \% \times \text{مقدار اولیه}) = \text{مقدار اولیه} + 0.2 \times \text{مقدار اولیه} = 1.2 \times \text{مقدار اولیه}$$ --- ### ت) پیشنهاد بر اساس تعداد واقعی (مقایسهٔ اندازهٔ پایه) با جایگزینی تعداد واقعی، مقایسه بسیار متفاوت می‌شود: * **مدرسه اول:** از $athbf{1}$ نفر به $athbf{3}$ نفر رسیده است. **افزایش واقعی: $\mathbf{2}$ نفر.** * **مدرسه دوم:** از $athbf{70}$ نفر به $athbf{84}$ نفر رسیده است. **افزایش واقعی: $\mathbf{14}$ نفر.** * **پیشنهاد جدید:** اکنون مدرسهٔ **دوم** را پیشنهاد می‌کنیم. * **چرا؟** اگرچه درصد افزایش مدرسهٔ اول بیشتر است، اما در واقعیت، مدرسهٔ دوم $\mathbf{14}$ نفر به قبولی‌هایش اضافه کرده، در حالی که مدرسهٔ اول فقط $\mathbf{2}$ نفر اضافه کرده است. این نشان می‌دهد که **پایهٔ اولیه (Base Rate)** در مدرسهٔ دوم بسیار قوی‌تر بوده و در عمل، تعداد بسیار بیشتری از دانش‌آموزان را به دانشگاه‌های برتر فرستاده است. --- ### ث) نحوه گمراه‌کننده بودن درصد در متغیرهای کیفی در گزارش متغیرهای $\mathbf{کَیفی}$، ارائهٔ درصد بدون مشخص کردن $\mathbf{تعداد}$ یا $\mathbf{پایهٔ}$ $\mathbf{اولیه}$ می‌تواند بسیار گمراه‌کننده باشد. * **گمراه‌کنندگی:** درصدها بزرگنمایی می‌کنند. یک افزایش $athbf{200}$% از پایهٔ $athbf{1}$ نفر، بسیار کمتر از افزایش $athbf{20}$% از پایهٔ $athbf{70}$ نفر است. * **نتیجهٔ گمراهی:** اولیا ممکن است به دلیل «افزایش $\mathbf{200}$%» فریب بخورند و تصور کنند که مدرسهٔ اول عملکرد چشمگیرتری داشته است، در حالی که در واقعیت، مدرسهٔ دوم در رساندن تعداد بیشتری از دانش‌آموزان به هدف موفق‌تر بوده است. * **نکته کلیدی:** در متغیرهای کیفی، همیشه باید $athbf{فراوانی \text{ (تعداد)}}$ و $athbf{درصد}$ را در کنار هم گزارش کنیم.